【汇旺担保】 不完全性定理

0
(0)

[拼音]:buwanquanxing dingli

[英文]:incompleteness theorem

证明论中的一条重要定理。由K.哥德尔于1931年证明,是数理逻辑发展史上的一个极为重要的定理。

设有一个以皮亚诺自然数论为其子系统的、自身协调的(即不自相矛盾的)形式系统,暂记为 U;在形式系统中凡不含自由变元的公式叫做语句;如果语句 A和塡A在某形式系统内均不可证,则A就叫做该形式系统的不可判定语句。不完全性定理说,任何一个上述的系统U都必有一个不可判定语句A。依照排中律,A和塡A之间必有一个是真语句,故不完全性定理可改为:任何一个上述的系统 U都必有一个真语句是不能推出的。如果一个系统对任何语句 A能够推出A或推出塡A,则这个系统叫做完全系统,这样不完全性定理又可改述为:任何一个上述的系统 U必是不完全的。

在证明不完全性定理时,主要是使用算术化方法,即先把形式系统中所使用的各符号都逐一给以一个自然数编号,然后依次对各公式也给以一个编号,再后又对各公式序列,例如证明中所使用的公式序列给以一个编号。凡属编号必须满足下列条件,即给出符号或公式或公式序列后,可以唯一地决定其编号。反之,当给出一个自然数后,则可以决定其是否用作编号,如果是,就可以唯一地决定其是符号的或者是公式的,还是公式序列的编号。满足这种条件的编号,叫做哥德尔编号。利用编号可以把有关形式系统的各性质用算术函式算术公式来表示。例如,可以作出一个算术公式 prov(a,b),使得prov(a,b)成立当且仅当编号为a的公式序列是对编号为b的公式的证明,这也表明证明关系是可以算术化的。有了这些(以及别的)算术函式算术公式后,就容易作出不可判定语句。

根据不完全性定理的证明过程,还可以推得下列结论:如果包含皮亚诺自然数论为子系统的形式系统 U是协调的,则表示“ U是协调的”这个事实的算术公式不可能在系统 U内证明,这个结果叫做第二不完全性定理。它也是证明论中很重要的结果。

虽然证明关系、可证性、协调性等等是可以算术化的,但由不完全性定理却可推得:真假性是不能算术化的,亦即不可能找到一个算术公式tr(a)使得tr(a)成立,当且仅当以a为编号的公式A为真,也就是说,在系统U内下列公式tr(a)凮A(这里a为A的编号)是不可证的。这是不完全性定理的另一内容,它是由A.塔尔斯基首先给出的(见不可定义性理论)。

更多信息: 担保 汇旺 汇旺担保 代收 汇旺担保 西港 汇旺担保 bc料 汇旺担保 天眼查 汇旺担保 人头

这篇文章有用吗?

点击星号为它评分!

平均评分 0 / 5. 投票数: 0

到目前为止还没有投票!成为第一位评论此文章。

【汇旺担保】 今古奇观

[拼音]:Jingu Qiguan明末刊 Read more